广义幂指函数 （广义幂指函数）

引入

连续相同加数的加法简写成乘法，比如5+5+5=5×3；6+6+6+6+6=6×5。

连续相同乘数的乘法简写成幂函数，比如5×5×5=5^3；6×6×6×6×6=6^5。

那么，连续相同幂指函数的简写呢？比如5^(5^5)？比如6^(6^(6^(6^6)))？能不能继续推广？

可以继续推广，且相同的底数和指数的幂指函数可以简写为新的函数：

x^x=x^^2 ,这里的“2”指的是有两个x进行“^"运算，依次类推，x^(x^x)=x^^3 , x^(x^(x^x))=x^^4…… 那么，上述的5^(5^5)=5^^3；6^(6^(6^(6^6)))=6^^5。

那么，能不能继续推广？

继续形式上推广，即可得：

x^^x=x^^^2 , x^^(x^^x)=x^^^3，x^^(xx^^(x^^x))=x^^^4……

x^^^x=x^^^^2，x^^^(x^^^x)=x^^^^3，x^^^(x^^^(x^^^x))=x^^^^4……

这里用“^”个数的不同，来区别简写的层次，“^”的个数称为“阶数”，后面的数字是次数。

为了降低高阶高次书写的繁琐，用CuiMaP(bx，ix，cx，px)表示上述运算，其中bx是重复的底数（代码b，上文中的x），ix是重复的次数称指数（代码i，上文中的N），cx是“^”的个数称阶数（代码c），运算的值px称为幂数（代码p）。另一个建议的写法是底数写在左边，指数写在右上角，阶数写在右下角。

但是，这种定性的描述的缺点是：指数、底数、阶数是正自然数的时候是便于理解的，至于当有的数不是正自然数的时候，就不那么显然甚至是无定义的了。

定义

满足以下条件的函数CuiMaP(bx，ix，cx，py)为cui幂函数（也称为广义幂函数）：

(1) CuiMaP(bx，ix，cx=1，py)=bx^ix；

(2) CuiMaP(bx，ix，cx，py2)=CuiMaP(bx，CuiMa(bx，ix-1，cx，py1)，cx，py2);

(3) CuiMaP(bx，2，cx，py)=CuiMaP(bx，bx，cx-1，py)；

其中，（1）给出了CuiMaP函数和幂指函数的关系，（2）和（3）是递推公式：（2）给出了同阶高次到低次的转化公式，（3）给出了高阶到低阶的转化公式。

假设

为了运算比如CuiMaP(256，0.5，2，py3)和CuiMaP（256，0.75，2，py4）之类的分数底数、指数，引入如下假设：

CuiMaP(CuiMaP(bx，ix，cx，py1)，1/ix，cx，py2)中某个bx=py2成立。

应用

求解上述py3和py4的过程如下：

因为4^4=256，所以CuiMaP(256，0.5，2，py3)中py3=4；

因为CuiMa(2，3，2，16)，根据假设，所以CuiMa(16，1/3，2，2)，根据定义，得CuiMa(16，4/3，2，256)，再根据假设，所以CuiMa(256，3/4，2，16)成立。

研究展望

1）用广义幂指函数表示超越数

利用 a^^b 其中a、b为有理数表示pi、e之类的超越数。因为b=3时 a^(a^a) 中，a为不为0、1的有理数，a^a 为无理代数数，所以 a^(a^a) 根据 格尔丰德-施耐德定理，为超越数。

2）下一步对CuiMa的研究

如何把研究对象扩展到实数乃至复数域，如何把阶数拓展到实数域，是下一个研究方向。

3）对代数基本定理的启示

代数基本定理没有纯代数的证明，说明现有体系的问题：现有的代数，均基于二阶以下CuiMa，而现有的几何，需要推广到复立体。